72の法則の導出

72 の法則とは、ある利回りで資産を運用した時に、およそ何年後に 2 倍になるのかを簡単に計算できる公式です。 具体的には以下のような公式です。

年利$x$%で運用行った時、$p$年後に資産が 2 倍になるとする。この時、$p$は以下の式で近似できる。

$p = 72/x$

具体的に計算してみると、確かにこの式で近似できていそうです。

利回り	実際の$p$	72 の法則によって導かれた$p$
2%	36	36
3%	24	24
4%	18	18
6%	12	12

ここでは、72 の法則が成り立つ理由を見ていきます。

72 の法則の導出

まず、定義から以下のような式が得られます。

$(1+x/100)^p=2$

ここで、便宜のために$X = x/100$としておきます。

両辺の対数(自然対数)を取ると

$p {\rm log}(1+x/100)= {\rm log}2$　(1)

ここで、${\rm log}(1+X)$について、マクローリン展開を行った結果を使います。

${\rm log}(1+X) = X - \frac{1}{2}X^2+ \frac{1}{3}X^3- \frac{1}{4}X^4 ...$ (2)

ここで、$X=x/100$であったことから、$X$は 1 より小さいと仮定します(利回りは 100%より小さい)。$1 > a \geq 0$である数$a$の$n$乗は$n$が大きければ大きいほど小さくなるため、(2)式の右辺第二項以降を無視することにすると、

${\rm log}(1+X) \fallingdotseq X$ (3)

が導出できます。

(1)式に(3)を適用すると、

$\frac{px}{100}= {\rm log}2$

となります。

${\rm log}2 = 0.69314718056$

から、$p x= 69.3$です。

なんと、72 ではなく、69 という数字が出ました。これには理由があり、69 は約数が少なく扱いにくいため、たくさんの約数を持つ 69 に近い数字の 72 が使われるようになったのです。

また、72 の法則は${\rm log}(1+X) \fallingdotseq X$という近似が含まれるため、(2)式の第二項が大きくなってしまう 30%、40%のような利回りではかなり近似の精度が落ちてきます。大きい数字でのズレをみてみましょう。

利回り	実際の$p$	72 の法則によって導かれた$p$
8%	10	9
12%	7	6
24%	4	3
36%	3	2

ただ、ここまでの利回りになってくると 2 倍になるまでの年数自体があっという間であり、2 倍になるまでに何年かかるか、と言う計算自体がほとんど意味を持ちません。結果、実用的な範囲では 72 の法則が十分有効だということが分かりました。